Exercice du mois

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Chaque mois il y a un bon cadeau d'une valeur de 30 frs. à gagner. En plus de la complétude de la solution, l'élégance de la preuve est également notée. En cas de plusieurs solutions de valeur comparable, le gagnant est tiré au sort. Pour avoir le droit de participer, il suffit de remplir les conditions de participation.

Vous pouvez envoyer les solutions en format texte, image, pdf ou LaTeX jusqu'à la fin du mois à Cet adresse mail est protégé contre les spambots. Vous avez d'activer le javascript pour la visualiser. .

Le mois dernier(Avril) les personnes suivantes ont envoyé une solution correcte :

Exercices a) et b) Smile
Exercice b)
Jonathan Hacker

 

 

Jonathan Hacker a gagné le bon cadeau Smile.

Mai 2012

a) Déterminer tous les ensembles $B$ et $C$ tels que :
1) $B\cup C = \{\, 1, 2, \dots, 10\, \}$ et
2) La somme de tous les éléments de $B$ est égale au produit de tous les éléments de $C$.

b) Soit l'expression
\[
\pm 1 \pm 2 \pm 3 \pm \dots \pm (4n+1)
\]
On insère avant chaque nombre de l'expression un signe $+$ ou un signe $-$, et on calcule la somme. \\
Quels nombres positifs cette somme peut-elle atteindre?

Avril 2013

a) Soit un tableau 10 par 10 avec les colonnes et les lignes numérotées chacunes de 1 à 10. Dans chaque case du tableau, on écrit le produit du numéro de la ligne avec celui de la colonne dans lesquelles se trouve la case. Un voyageur se trouve dans la case en haut à gauche. Il veut atteindre la case en bas à droite en se déplaçant uniquement vers la droite ou vers le bas. Le nombre associé à un voyage donné est le produit de toutes les cases que le voyageur a visité durant ce voyage, première et dernière case incluses. Quel est le pgcd de tous les nombres associés à tous les voyages qu'il est possible de faire ?

b) Trouver tous les nombres naturels $a$, $b$, $c$ tels que $(2^a-1)(3^b-1)=c!$

Mars 2013


a) Un dé et ses 27 points (ses sommets, le milieu de chaque arête, le centre de chaque face et le centre du dé) sont donnés. Combien de droites distinctes passent par exactement 3 de ces 27 points ?

b) Soit $\Delta ABC$ un triangle rectangle avec $\angle BAC = 90$°. Soit $D$ un point sur le segment $BC$ et $E$ son symétrique par rapport à la droite $AB$. Soit $F$, resp. $G$, l'intersection de la droite $AB$ avec la droite $DE$, resp. $CE$. De plus, on définit $H$ comme la projection orthogonale de $G$ sur la droite $BC$ et $I$ comme l'intersection des droites $HF$ et $CE$.
Montrer que $G$ est le centre du cercle inscrit du triangle $\Delta AHI$.

 

Fevrier 2013

a) Quand on écrit les nombres $1, 2, \dots, n$ dans un ordre quelconque, on obtient une "n-chaîne". Une des "11-chaîne" possible est par exemple \[ 3764581121910 \]

Quel est le plus petit entier naturel $n>1$ tel qu'il existe une "n-chaîne" qui soit un palindrome ? (Un palindrome est un nombre qui se lit indifféremment de gauche à droite et de droite à gauche, par exemple 45354)

b) La suite de nombres $\{x_n\}$ est définie par $x_1=1$, $x_2=3$ et $x_{n+1} = 6x_n-x_{n-1}$ pour tout $n\ge 1$.

Montrer que $x_n+(-1)^n$ est un carré parfait pour tout $n\ge 1$.

Janvier 2013

a) Combien de nombres entiers $a$ compris entre 1 et 2013 (1 et 2013
inclus) existe-t-il tel que $a^a$ est un carré parfait ?

b) Trouver tous les nombres entiers relatifs qui peuvent être
représentés sous la forme $a^3+b^3+c^3-3abc$, avec $a,b,c$ des entiers
naturels.

December 2012

Devinette de Noël :
Dans le cryptarithme (deux lettres différentes sont toujours
représentées par deux chiffres différents et inversement)
A MERRY XMAS TO ALL
chaque mot représente un carré parfait.
Chiffrer le message, si en plus, la somme des chiffres de chacun des
nombres obtenus en chiffrant le message donne un carré parfait.

 

 

a) Les nombres de 1 à 9 sont placés arbitrairement sur un cercle.
Prouve qu'il existe 3 nombres placés côte à côte sur le cercle tel que
leur somme est supérieure ou égale à 16.

b) Trouve le plus petit nombre de carrés à côtés entiers que l'on a
besoin pour former un rectangle de 11x13 en coupant éventuellement les
carrés.

 

 

November 2012

a) Les hauteurs d’un triangle mesurent 3,4 et 6. Trouver son périmètre.

b) Une puce se trouve sur un sommet d’un cube. Chaque jour, elle se déplace vers un
sommet voisin du cube.

Combien de trajets de 6 jours se terminent sur la même case que celle où le trajet avait commencé ?

Octobre 2012

a) Déterminer le plus grand nombre naturel $n$ tel que $7^{2048}-1$
est divisible par $2^n$.

b) Un triangle équilateral de longueur de côté $n$ est partagé en
$n^2$ triangles équilateraux de longueur de côté 1.

Déterminer tous
les $n$ pour lesquels il est possible de colorer les segments séparant
les triangles en noir et blanc, de telle sorte que en chaque sommet le
nombre de segments blancs est égal au nombre de segments noirs.

 

 

Septembre 2012

a) La somme de quatre nombres à trois chiffres vaut 2012. Pour

les représenter dans le système décimal, seulement deux chiffres ont
été utilisé.

  1. Donner un exemple de tels nombres.
  2. Déterminer toutes les possibilités.

b) Dans un tétraèdre, les sommes de longueurs de deux côtés
opposés sont égales. Montrer que les cercles inscrits des côtés sont
tangents deux à deux.

Juillet-Août 2012

 

Déterminer
a) au moins 3 nombres naturels distincts
b) tous les nombres naturels $n$
pour lesquels le nombre de diagonales dans un $n$-gone régulier est un carré parfait.

 


 

Juin 2012

a) Dans un échiquier habituel $8\times 8$ il y a une grande quantité de rectangles et de carrés qui se composent de cases entières de l'échiquier. (Du carré $1\times 1$ jusqu'au carré $8\times 8$.)

Quel est la somme de leur surfaces?

b) Un postier livre la poste à 19 maisons alignées le long d'une rue. Il remarque qu'il n'y a jamais deux maisons voisines qui reçoivent de la poste le même jour. Il remarque aussi qu'il n'y a jamais plus que deux maisons voisines qui ne reçoivent pas de poste le même jour.

Déterminer combien de parcours de livraison différents sont possibles sous ces conditions.

 

Mai 2012

a) On découpe un carré en triangles aigus (TOUS les angles < 90°). Minimiser le nombre de triangles.

b) Soit $ABC$ un triangle et $M$ un point sur son cercle circonscrit. Montrer l'inégalité suivante:

$\dfrac{MA}{BC} +\dfrac{MB}{CA} +\dfrac{MC}{AB} \ge 2$.

 

Avril 2012

a) Déterminer le plus grand nombre naturel avec la propriété suivante:
le nombre est divisible par chacun de ses chiffres et tous les chiffres de ce nombre sont distincts.

b) Montrer que pour tout nombre naturel $n$, le nombre  $(2^n+4^n)^2 + 4(6^n+9^n+12^n)$ a au moins 9 diviseurs positifs.

 

 

Mars 2012

 

a) Un carré 3x3 est rempli avec des nombres comme ci-dessous:
1 8 4
6 3 9
5 7 2
On a le droit de parcourir les cases du carré et d'aligner les nombres des cases visités. On peut aller d'une case à une autre si elles ont un côté en commun. Peter fait le parcours montré dans l'image et obtient le nombre 84937561.

Quel est le plus grand nombre que l'on peut obtenir avec ce carré?

b) Montrer qu'il y existe une infinité de nombres $n$ tels que $n$ est somme de deux carrés

mais $n-1$ et $n+1$ ne sont pas somme de deux carrés.

Fevrier 2012

a) Ecrire les nombres de 15 à 23 dans les cases d'une grille $3\times 3$ de sorte que toutes les sommes de deux nombres de cases adjacentes (qui ont un côté en commun)  sont distinctes.

b) Des nombres positifs $a,b$ et $c$ satisfont l'inéquation $\frac{3}{abc}\ge a+b+c$. Montrer que
\[
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{
1}{c}\ge a+b+c 
\]

 

 

Janvier 2012

a) Trouver tous les nombres entiers $x,y$ tels que $20x^2+12y^2=2012$.

b) On considère 7 verres d'eau. Le premier est rempli à moitié, le deuxième est rempli à $\dfrac{1}{3}$, le troisième à $\dfrac{1}{4}$, le quatrième à $\dfrac{1}{5}$, le cinquième à $\dfrac{1}{8}$, le sixième à $\dfrac{1}{9}$ et le septième à $\dfrac{1}{10}$.

On a le droit de verser le tout contenu d'un verre dans un autre (si c'est possible) ou alors de verser jusqu'à ce que l'autre est plein.
Est-il possible d'obtenir un verre qui est

1) rempli à $\dfrac{1}{12}$, 2) rempli à $\dfrac{1}{6}$?

 

 

Décembre 2011

Un roi se trouve sur un tablier 8x8 d'un échiquier. Le roi joue un coup chaque jour. Le dimanche, il se déplace le long de la diagonale, les autres jours de la semaine, il se déplace le long de l'un des côtés de l'échiquier. Le roi ne peut pas visiter une case qu'il a déjà visitée. La case de départ compte comme case visitée.

Quel est le nombre maximal de cases que le roi peut visiter?

 

 

Novembre 2011

a) Nous disons d'un rectangle qu'il est beau, si les longueurs de tous les côtés sont des nombres naturels et que l'aire est égale à la circonférence du rectengle. Trouver tous les rectangles qui sont beau.

b) Nous appelons un parallélépipède rectangle beau si les longueurs de tous les côtés sont des nombres naturels et le volume est égale à la surface du parallélépipède. Trouver tous les parallélépipèdes rectangles qui sont beau.

 

Octobre 2011

Un pays est divisé en 9 districts dans lesquels se trouvent un total de 5 villes et 19 villages. Chaque ville est reliée par une ligne de bus à au moins 14 autres localités et chaque village est reliée à au plus 3 localités. Montrer qu'il y a un district dans lequel aucune localité est directement reliée à une autre par une ligne de bus.

Septembre 2011

Ariana et Berta jouent au jeu suivant:

Il y a 22 cartes, numérotées de 1 à 22. Ariana commence, elle choisit une carte et la pose sur la table. Berta pose une des cartes restantes à droite de la carte d'Ariana, de telle sorte que la somme des deux nombres sur la carte est un carré. Ariana pose une des cartes restantes à droite, de sorte que la somme des deux derniers nombres posés est à nouveau un carré et ainsi de suite.

Le jeu se termine quand toutes les cartes sont posées ou quand il n'est plus possible de poser une carte sur la table. La personne qui a posée une carte en dernière gagne alors la partie.

Existe-t-il une stratégie gagnante pour Ariana?